Statistische Tolerierung: RSS, Monte Carlo und Excel

Der Worst Case geht davon aus, dass alle Teile gleichzeitig am ungünstigsten Rand liegen. In der Serie passiert das so gut wie nie. Die statistische Tolerierung rechnet aus, wie viel Reserve wirklich bleibt.

Als Beispiel dient die Kette aus dem Artikel Toleranzen berechnen: ein Zahnrad zwischen Wellenbund und Sicherungsring. Der Worst Case ergibt dort ein Axialspiel von 0,00 bis 0,96 mm.

Die Grundidee

Kein Teil kommt genau mit dem Nennmaß aus der Maschine. Die Istmaße streuen, die meisten liegen nahe der Mitte, wenige am Rand. Baut man mehrere Teile zusammen, gleichen sich die Abweichungen teilweise aus: Eine etwas zu breite Nabe trifft selten auf einen gleichzeitig zu kurzen Wellenabsatz.

Beschrieben wird die Streuung meist mit der Normalverteilung und ihrer Standardabweichung σ. Im Bereich von ±3σ um den Mittelwert liegen 99,73 % aller Teile. Üblich ist die Annahme, dass die Toleranzbreite eines Maßes genau diesen 6σ entspricht.

RSS: die quadratische Summe

Bei der quadratischen Addition (Root Sum Square) addierst du nicht die Toleranzen, sondern ihre Quadrate, und ziehst danach die Wurzel:

T_RSS = √(ΣT_i²)

Das gilt, wenn die Maße unabhängig voneinander sind, normalverteilt streuen und ihre Prozesse mittig laufen. Für das Beispiel ergibt sich T_RSS = √(0,4² + 0,4² + 0,06² + 0,1²) ≈ 0,58 mm um die Mitte von 0,48 mm, also ein Axialspiel von etwa 0,19 bis 0,77 mm.

Monte Carlo: viele virtuelle Baugruppen

Die Monte-Carlo-Simulation baut die Baugruppe sehr oft am Rechner zusammen. Für jedes Maß zieht sie einen Zufallswert aus seiner Verteilung und rechnet das Schließmaß aus. Nach 100 000 Durchläufen zeigt die Häufigkeit der Ergebnisse, wie die Serie aussehen wird. Anders als RSS kommt die Simulation mit jeder Verteilung zurecht:

• normalverteilt, wenn ein Prozess stabil um die Mitte läuft,
• gleichverteilt, wenn jedes Maß im Toleranzfeld gleich wahrscheinlich ist, etwa bei Teilen von verschiedenen Lieferanten,
• dreiecksverteilt, wenn sich die Werte an einer Stelle häufen, zum Beispiel eine Rechtwinkligkeit, die meist nahe 0 liegt.

Für die Zahnrad-Kette mit 100 000 simulierten Baugruppen:

Werte in mm, gerechnet mit 100 000 Durchläufen und festem Startwert. Das kleinste Spiel schwankt von Lauf zu Lauf, Mittelwert, σ und Cpk bleiben stabil. In keiner der drei Varianten fällt das Spiel unter null, der Worst Case von 0,00 mm kommt praktisch nicht vor. Wie viel Reserve bleibt, hängt aber stark an der Annahme: Bei gleichverteilten Maßen ist σ rund drei Viertel größer als bei normalverteilten.

Cpk: Reserve in einer Zahl

Der Prozessfähigkeitsindex Cpk misst den Abstand vom Mittelwert zur nächsten Grenze in Einheiten von 3σ. Hier ist die Grenze ein Spiel von 0 mm, also Cpk = Mittelwert / (3σ). Üblich ist eine Mindestforderung von 1,33. Mit normalverteilten Maßen erfüllt die Kette das deutlich, mit gleichverteilten nicht.

Toleranzrechnung in Excel nachbauen

Beides lässt sich in Excel rechnen. Für RSS trägst du die vier Toleranzen in B2 bis B5 ein:

=WURZEL(QUADRATESUMME(B2:B5))

Für eine Monte-Carlo-Simulation bekommt jedes Glied eine Spalte, jede Zeile ist eine Baugruppe. Ein normalverteiltes Maß zieht der Zufall aus Mitte und Toleranz/6:

A2: =NORM.INV(ZUFALLSZAHL();20;0,4/6)
B2: =NORM.INV(ZUFALLSZAHL();18;0,4/6)
C2: =NORM.INV(ZUFALLSZAHL();1,47;0,06/6)
D2: =NORM.INV(ZUFALLSZAHL();0,05;0,1/6)
E2: =A2-B2-C2-D2

Die Normalverteilung in D2 kann auch negative Werte liefern, die es bei einer Rechtwinkligkeit nicht gibt. Für solche einseitigen Abweichungen passt die Dreiecksverteilung aus der Tabelle oben besser.

Die Zeile 2 kopierst du bis Zeile 10001. Danach liefern =MITTELWERT(E2:E10001) und =STABW.S(E2:E10001) Mittelwert und σ, der Anteil unter null steht in:

=ZÄHLENWENN(E2:E10001;"<0")/10000

Gleichverteilt wird ein Maß aus Mindest- und Höchstmaß, für M₁ also mit =19,8+ZUFALLSZAHL()*(20,2-19,8).

Wo Excel an Grenzen stößt

• Vorzeichen von Hand. Ob ein Glied plus oder minus zählt, steckt nur in der Formel in Spalte E. Ein Tippfehler fällt nicht auf.
• Asymmetrische Toleranzen. Bei 0/−0,06 musst du die Mitte (1,47) selbst ausrechnen. Wer das Nennmaß nimmt, verschiebt das Ergebnis.
• Ergebnisse wandern. ZUFALLSZAHL rechnet bei jeder Änderung neu, zwei Ausdrucke derselben Datei zeigen andere Werte.
• Nachvollziehbarkeit. Wer die Datei nicht gebaut hat, sieht nicht, welche Annahmen drinstecken. Im Audit wird das zur Frage.

Wann welche Methode?

• Worst Case bei Sicherheitsfunktionen, Einzelteilen und überall, wo die Montage ausnahmslos klappen muss.
• RSS als schnelle Abschätzung in der Serie, wenn die Prozesse stabil und mittig laufen.
• Monte Carlo, wenn Verteilungen nicht normal sind, Maße einseitig begrenzt sind oder du einen Cpk für das Schließmaß brauchst.

Welche Allgemeintoleranzen für Maße ohne eigene Angabe gelten, steht im Artikel ISO 2768.