Toleranzen berechnen: Formeln, Maßkette und Beispiel

Eine Toleranz sagt, wie weit ein Maß abweichen darf. Spannend wird es, wenn mehrere tolerierte Maße hintereinander liegen und am Ende ein Spiel stimmen muss. Hier rechnen wir so eine Maßkette Schritt für Schritt durch, mit Formeln und einem Beispiel aus dem Getriebebau.

Toleranz am Einzelmaß

Jedes tolerierte Maß hat ein Nennmaß N und zwei Abmaße: das obere Abmaß A_o und das untere Abmaß A_u. Daraus folgen die Grenzmaße und die Toleranz:

• Höchstmaß: G_o = N + A_o
• Mindestmaß: G_u = N + A_u
• Toleranz: T = G_o − G_u = A_o − A_u

Eine Nabe mit 18 ±0,2 mm ist also höchstens 18,2 und mindestens 17,8 mm breit, die Toleranz beträgt 0,4 mm. Steht an einem Maß keine Toleranz, gilt die Allgemeintoleranz aus dem Schriftfeld, meist ISO 2768-m. Für 18 mm sind das ±0,2 mm.

Toleranzanalyse oder Toleranzsynthese

Bei der Toleranzanalyse sind die Einzeltoleranzen gegeben, gesucht ist die Toleranz des Schließmaßes. So prüfst du, ob eine Baugruppe mit den gezeichneten Toleranzen funktioniert. Bei der Toleranzsynthese ist es umgekehrt: Das Schließmaß hat eine geforderte Toleranz, und du verteilst sie auf die Einzelteile. Hier geht es um die Analyse, sie ist die Grundlage für beides.

Das Beispiel: Zahnrad mit Sicherungsring

Ein Zahnrad sitzt auf einer Welle. Links liegt es am Wellenbund an, rechts sichert es ein Sicherungsring nach DIN 471 in einer Nut. Zwischen Nabe und Ring muss ein Axialspiel bleiben. Wird es kleiner als null, deckt die Nabe die Nut ab und der Ring lässt sich nicht montieren. Das Axialspiel ist das Schließmaß M₀.

Maßkette in acht Schritten

1. Zählrichtung festlegen

Für jedes Maß fragst du: Wird das Schließmaß größer, wenn dieses Maß größer wird? Dann zählt es positiv. Wird das Schließmaß kleiner, zählt es negativ. Im Beispiel bringt ein längerer Abstand vom Bund zur Nut mehr Spiel, er zählt positiv. Eine breitere Nabe und ein dickerer Ring nehmen Spiel weg, sie zählen negativ.

2. Maßplan zeichnen

Im Maßplan stehen alle Maße als Pfeile, die zusammen eine geschlossene Kette bilden. Dazu gehören auch Form- und Lagetoleranzen. Die Nabenstirnfläche ist mit einer Rechtwinkligkeit von 0,1 mm toleriert. Steht die Fläche schief, liegt die Nabe früher am Ring an. Deshalb kommt sie als eigenes Glied mit Nennmaß 0 in die Kette. Nach ISO 8015 gilt das Unabhängigkeitsprinzip: Die Rechtwinkligkeit steckt nicht in der Maßtoleranz der Nabenbreite, sie kommt hinzu.

Wichtig ist auch, wohin M₁ führt: bis zur tragenden Nutflanke, an der der Ring anliegt, also zur Flanke auf der vom Zahnrad abgewandten Seite. Wer zur anderen Flanke misst, rechnet die Ringdicke doppelt.

3. Maßtabelle

4. Nennschließmaß bestimmen

N₀ = ΣN₊ − ΣN₋ = 20 − (18 + 1,5 + 0) = 0,5 mm

5. Höchstschließmaß bestimmen

Das größte Spiel entsteht, wenn die positiven Maße am größten und die negativen am kleinsten sind:

P_o = ΣG_o,+ − ΣG_u,− = 20,2 − (17,8 + 1,45 + 0) = 0,95 mm

6. Mindestschließmaß bestimmen

Das kleinste Spiel entsteht im umgekehrten Fall:

P_u = ΣG_u,+ − ΣG_o,− = 19,8 − (18,2 + 1,5 + 0,1) = 0,00 mm

7. Schließmaß mit Abmaßen zusammenstellen

oberes Abmaß = P_o − N₀ = 0,95 − 0,5 = +0,45 mm
unteres Abmaß = P_u − N₀ = 0,00 − 0,5 = −0,5 mm

8. Kontrolle

Die Differenz aus Höchst- und Mindestschließmaß muss der Summe der Einzeltoleranzen entsprechen:

P_o − P_u = 0,95 − 0,00 = 0,95 mm
ΣT_i = 0,4 + 0,4 + 0,05 + 0,1 = 0,95 mm

Stimmen beide Werte überein, ist keine Richtung vertauscht. Diese Probe lohnt sich gerade in Excel, wo ein falsches Vorzeichen nicht auffällt.

Was das Ergebnis sagt

Im ungünstigsten Fall bleibt kein Spiel übrig. Der Ring passt dann gerade noch, ohne jede Reserve. Ohne die Rechtwinkligkeit wären es 0,1 mm gewesen. Ein Glied, das leicht vergessen wird, nimmt hier die ganze Reserve.

Worst Case oder RSS?

Der Worst Case zeigt, dass 0,00 mm möglich sind. Er sagt nicht, wie oft das vorkommt. Dafür gibt es die statistische Tolerierung. Bei der quadratischen Addition (RSS) gilt T_RSS = √(ΣT_i²). Das setzt voraus, dass die Maße unabhängig voneinander und normalverteilt um ihre Toleranzmitte streuen.

Für das Beispiel ergibt das T_RSS = √(0,4² + 0,4² + 0,05² + 0,1²) ≈ 0,58 mm um die Mitte von 0,475 mm, also ein Axialspiel von etwa 0,19 bis 0,76 mm. Deutlich mehr Luft, aber nur, solange die Annahme stimmt.

• Worst Case bei Sicherheitsfunktionen, kleinen Stückzahlen und überall, wo die Montage immer klappen muss.
• RSS in der Serie mit fähigen, mittig laufenden Prozessen.
• Monte-Carlo-Simulation, wenn Maße nicht normalverteilt sind, etwa Form- und Lagetoleranzen, die nur in eine Richtung abweichen können.

Typische Fehler

• Falsche Zählrichtung. Ein Glied mit falschem Vorzeichen verschiebt Nennmaß und Grenzen. Die Kontrolle in Schritt 8 deckt das auf.
• Form und Lage vergessen. Rechtwinkligkeit, Parallelität oder Lauf gehören als eigene Glieder in die Kette.
• Mit dem Nennmaß statt der Toleranzmitte rechnen. Bei Toleranzen wie 0/−0,05 liegt die Mitte nicht beim Nennmaß. Für RSS zählt die Mitte.
• RSS ohne fähige Prozesse. Streut ein Maß breiter oder liegt es außermittig, ist das RSS-Ergebnis zu optimistisch.

Die Abmaße von Passungen wie H7 oder g6 stehen in der ISO-Passungen-Tabelle.