Welche Verteilung für welches Maß?

Worst Case braucht keine Verteilung. Er nimmt an, dass jedes Maß am ungünstigsten Rand liegt. Sobald du statistisch rechnest, zählt dagegen, wie sich die Teile einer Serie im Toleranzfeld verteilen. Liegt die Annahme daneben, ist auch das Ergebnis falsch, meistens zu optimistisch.

Die drei Formen

Für die Toleranzrechnung reichen fast immer drei Formen. Wichtig ist bei jeder, wie groß die Streuung σ im Verhältnis zur Toleranzbreite T ist.

• Normal. Die Werte häufen sich in der Mitte und werden zu den Rändern seltener. Üblich ist die Annahme, dass die Toleranz ±3σ entspricht. Dann ist σ = T/6, also rund 0,17 · T.
• Gleich (Rechteck). Jeder Wert im Feld ist gleich wahrscheinlich. σ = T/√12, rund 0,29 · T.
• Dreieck. Die Werte häufen sich an einer Stelle, meist am Nennmaß, und nehmen zu den Rändern gleichmäßig ab. Symmetrisch ist σ = T/√24, rund 0,20 · T.

Bei gleicher Toleranz streut ein gleichverteiltes Maß also rund 1,7-mal so stark wie ein normalverteiltes.

Woher die Form kommt

Die Form ist keine Eigenschaft der Zeichnung, sondern des Prozesses. Es lohnt sich zu fragen, was das Maß während der Serie bewegt.

Stabiler Serienprozess. Viele kleine Einflüsse überlagern sich: Spannen, Temperatur, Material, Messung. Keiner davon dominiert. Daraus entsteht eine Glocke, also Normalverteilung.

Werkzeugverschleiß mit Nachstellen. Das Werkzeug verschleißt, das Maß wandert langsam durchs Toleranzfeld. Kurz vor der Grenze stellt der Werker nach, und das Maß springt auf die andere Seite zurück. Über die Serie liegt jeder Wert im Feld ungefähr gleich oft vor. Das Ergebnis ist ein Sägezahn über die Zeit und ein Rechteck im Histogramm.

In der Praxis rundet die Zufallsstreuung die Kanten ab. Die echte Form liegt dann zwischen Rechteck und Glocke. Gleich ist hier die vorsichtige Annahme: Sie überschätzt die Streuung eher, als dass sie sie unterschätzt.

Handarbeit und Einstellen auf Mitte. Wer von Hand einstellt, zielt auf das Nennmaß. Die Ränder kommen seltener vor. Das passt zum Dreieck.

Lagespiel. Ein Bolzen im Langloch oder eine Schraube im Durchgangsloch kann an jeder Stelle des Spiels liegen. Keine Lage ist bevorzugt, also Gleich.

Prozess und Ansatz

Die Tabelle gibt Anhaltspunkte, welche Verteilung du ansetzt, wenn du nichts Genaueres weißt. Entscheidend ist immer die Begründung, nicht der Prozessname.

Anhaltspunkte, keine Normwerte. Messdaten aus der eigenen Fertigung gehen immer vor.

Warum das für RSS wichtig ist

RSS geht davon aus, dass jedes Maß normalverteilt ist und alle Maße unabhängig voneinander streuen. Liegt ein Maß in Wirklichkeit gleichmäßig im Feld, ist seine Streuung rund 1,7-mal so groß, wie RSS annimmt. Das Ergebnis sieht dann besser aus, als die Serie später ist.

Ein Beispiel ist die Vorlage „Zahnrad mit Sicherungsring“ (in der App unter „Vorlagen“): Das Axialspiel muss mindestens 0 sein. RSS liefert 0,19 bis 0,77 mm, also scheinbar reichlich Reserve. Wir simulieren die Kette mit 100 000 Baugruppen und ändern nur die Verteilung von Wellenbund und Nabe. Beide Maße sind gedreht, und es wird nachgestellt. Die Tabelle zeigt die untere Grenze des Bereichs, in dem 99,73 % der Baugruppen liegen, so wie die App sie ausweist:

Die Kette ist dieselbe, nur die Annahme über die Verteilung ist eine andere. Mit zwei gleichverteilten Maßen halbiert sich die Reserve, und der Cpk fällt unter 1,33, den viele Kunden fordern. Klemmen kann hier trotzdem nichts, denn auch im Worst Case bleiben 0,00 mm. Das Risiko liegt also nicht im Ausfall, sondern in einer Fähigkeit, die auf dem Papier besser aussieht als in der Fertigung.

Wer die Verteilung je Maß festlegen will, rechnet mit Monte Carlo. Wie die Simulation funktioniert, steht im Artikel Statistische Tolerierung. Welche Maße wie viel zur Streuung beitragen, zeigt der Artikel Toleranzbeitrag.

Viele Glieder

Je mehr Glieder eine Kette hat, desto mehr gleicht sich das Schließmaß einer Glocke an, auch wenn die Einzelmaße gleichverteilt sind. Das ist der zentrale Grenzwertsatz. Er ändert aber nur die Form. Sind die Maße gleichverteilt, bleibt die Streuung größer, als RSS annimmt, egal wie lang die Kette ist. Bei langen Ketten wiegt das sogar schwerer: Das Schließmaß ist dann wirklich glockenförmig, mit Ausläufern über die RSS-Grenzen hinaus.